数的概念方式

数学以其普遍必然的逻辑特质，使得无数学者认为它是一种先验的知识。例如，无论在何种情况下，在3×3=9的规则下，输入任何经验材料其结果都是9。人们相信数学是一种先验的知识，是和经验无关的，任何经验材料进入数学，都会服从数学的逻辑必然。

然而，仔细地分析，情况并不是这样的：

1、从数字符号的起源上看：

3和9等数字符号都是来自于经验生活中量的概念抽象。没有经验生活中的量的关系，人类的头脑是无以通过符号和量的关系对象的联结，赋予它们量的数字指称的。恩格斯说过，数学看起来是最为先验的，离开感性的东西非常遥远，但它仍然起源于经验。欧美不少科学论著，都对数学起源的古代历史作过详尽的论述。如，数是从物的分配和交换量的数字符号中逐步抽象出来的，犹如点、线、面的几何符号指称是在土地丈量的图形中抽象出来的。没有物的分配和交换，没有土地的丈量，人类的头脑是不会产生数字符号和几何符号的指称的，以及量和图形的数字和几何的名称规定和性状规定的概念抽象的。数学是源自于和根基于经验对象的概念抽象，并不是一种先验的知识。

2、从数学运算的创立上看：

一切数学运算的创立，都是建立在数字符号、运算符号和运算规则的抽象规定上的。无论是加减乘除四则运算，分数运算，代数运算，指数运算，方程运算，极限运算，几何运算，以及各种各样层出不穷的数理运算，其逻辑必然都是建立在一定的符号方式和运算规则的基础上的，是以各自的符号方式和运算规则为界限的。离开了它们各自的符号方式和运算规则，其逻辑必然就会无效和消失。例如，在十进制的运算规则中，1+1=2；而在二进制的运算规则中，1+1=10。各种数学运算创立的本质表明，一切数学运算的逻辑必然并不是先验的和自我绝对的，而是由数学符号和运算规则的创立规定的，说到底是由它们各自的概念构造创立和规定的。数学的辉煌是新的数学符号和运算规则的创立，笛卡尔坐标系的几何数轴符号和运算规则的创立，极为典型地表明了这一点。正是笛卡尔的坐标系的创立，使得数学实现了数和形的统一，使得曲线可以获得代数方程的计算，或者代数方程可以获得曲线的描述，带来了数学的重大变革。

3、从概念抽象统摄的特质上分析：

数的本质是概念。概念具有抽象统摄的特质。例如，当“3”这个数字符号的指称一经在人类观念中出现，成为一种概念抽象，它就会以其概念抽象统摄的共性特质，统摄一切可以被它所指称的对象，如，3只手指、3只羊、3只薯茛、3只鹿、3只鸟、3头猪、3棵树、3座山、3条河，等等，等等。进一步对于“3 × 5 = 15”的四则运算，以及“ax = b”的一元一次方程求解，等等来说，都会因其概念抽象统摄的特质，在一切可以被它们统摄的对象范围内，获得普遍必然的逻辑特性。

由此，数学的本质是概念，一切数理运算的逻辑必然，在本质上都是概念逻辑的必然。离开了人类头脑中的概念方式和概念方式的抽象运作，数学的逻辑必然都会消逝的无影无踪。最为重要的是，一个国家的数学领先，一个杰出数学家的出现，关键在于一个开创的头脑和异新的数学符号和运算规则的创立，并在抽象和经验的统一的求取中获得它们的应用领域和实践成果。